KdV方程的四种对称性

我们重新审视可积偏微分方程的对称结构，以KdV方程为例。我们确定了KdV方程依赖于一个参数的4种非局部对称性，我们称之为生成对称性。我们解释说，由于这些是非局部对称性，它们的对易子代数不是唯一确定的，并给出了该代数的三种可能形式。在第一种形式中，4种对称性中的3种是对易的；这表明可以向标准KdV族中添加进一步的（非局部）对易流。对易子代数的第二种形式与对称性的Laurent展开一致，从而产生KdV方程的一个无穷维隐藏对称代数。第三种形式与参数取大值时的渐近展开一致，从而产生KdV方程的标准对易对称性、无穷多的“附加对称性”族及其传统上接受的对易子代数（尽管由于附加对称性是非局部的，该代数也存在一些模糊性）。我们解释了在代数第一种形式中对易的3种对称性如何都可以被视为无穷小双重Bäcklund变换。这4种生成对称性包含了KdV方程所有已知的对称性，但也展示出一些由其非局部性产生的显著新颖结构。我们相信其他可积偏微分方程也共享这种结构。