关于系数在 $\mathbb{R}^m$ 上的 1 维 current 的 $h$-质量公式

我们考虑在 $\mathbb{R}^n$ 中系数在 $\mathbb{R}^m$ 且具有预定边界的 normal 1-current 上的 $h$-质量的最小化。这种优化问题已知为多物料运输问题，可用于物流多种商品的调度，也可作为非凸最优运输问题的松弛形式，如所谓的分支运输问题。$h$-质量可以不同方式定义，导致三个功能 $\mathcal{M}_h,|\cdot|_H$ 和 $\mathbb{M}_h$，其相等性是本文的主要结果：$\mathcal{M}_h$ 是以 Federer 和 Fleming spirit 为导向的 1-current 上的功能，$|\cdot|_H$ 表示由 $h$ 诱导的 Radon measure 总变动，$\mathbb{M}_h$ 是 Whitney sense 中 flat 1-chain 上的质量。在此基础上，我们引入了一种新的且改进的多物料运输问题的校准概念：我们将校准识别为关联凸对偶问题优化器的（弱）雅可比，这导致它们的存在以及自然的正则性。