Turaev 环路运算的形式描述

使用环路的交与自交，Turaev 在七十年代引入了带边曲面的基本群 $\pi$ 的代数 $\mathbb{Q}[\pi]$ 上的两个基本运算。第一个运算是二元的，度量曲面上两条有向带基曲线的相交；第二个运算是一元的，计算一条有向带基曲线的自交。已知当群代数 $\mathbb{Q}[\pi]$ 关于其增广理想的幂完备，并恰当地等同于 $H:=H_1(\pi;\mathbb{Q})$ 的张量代数 $T(H)$ 的次数完备化时，Turaev 相交配对有代数描述。在本文中，我们对具有 $p$ 个穿孔的圆盘情形下的 Turaev 自交映射获得了类似的代数描述。此处我们考虑由将 $\pi$ 嵌入到 $(p+1)$ 股纯辫群中而产生的 $\mathbb{Q}[\pi]$ 与 $T(H)$ 的完备化之间的等同；我们的代数描述涉及一个由该结合子显式确定的形式幂级数。证明基于 Turaev 环路运算的一些三维公式，这些公式涉及 $2$-股纯辫，并对任意带边曲面成立。