基于Turaev余括号的简单闭曲线代数刻画

由可定向曲面的基本群中共轭类生成的向量空间$\V$具有自然的李余括号$\map{\delta}{\V}{\V\times \V}$。对于负弯曲曲面，$\delta$可以从测地线代表元作为横截自交点的和来计算。特别地，对于嵌入简单闭曲线的任意幂，$\delta$为零。用Turaev(k)表示如下陈述：$\delta(x^k) = 0$当且仅当非幂共轭类$x$由嵌入曲线表示。余括号delta的计算机实现在除裤子面之外的每个具有负欧拉特征的曲面上都发现了Turaev(1)的反例。计算机搜索已对数以亿计的最短类验证了Turaev(2)。在本文中，我们证明了带边界曲面的$k=3,4,5,\dots$时的Turaev(k)。Turaev本人在80年代引入了该余括号，并探讨了其与嵌入曲线的关系，特别是询问Turaev(1)是否可能成立。我们给出了该结果在曲线复形上的应用。我们证明了与余括号和幂运算可交换的自由同伦类集合的置换，是由映射类群的元素诱导的。