叉子、面条与$n=4$时的Burau表示

约化Burau表示是辫群$B_n$在合适的$n$穿孔圆盘$D_n$的无限循环覆盖空间${\tilde{D}}_n$的第一同调群$H_1({\tilde{D}}_n;\mathbb{Z})$上的自然作用。已知Burau表示在$n\le 3$时是忠实的，而在$n\ge 5$时不忠实。我们使用叉子和面条同调技术以及Bokut--Vesnin生成元来分析$n=4$的情形。我们提出一个蕴含忠实性的猜想以及一个解释该蕴含关系的引理。我们给出一些论证，说明为何我们期望该猜想成立。此外，我们给出一些几何计算的例子以及关于使用C\texttt{++}程序收集的数据的信息。