随机带状 GOE 矩阵的涨落与局域化长度

我们证明 GOE 随机带状矩阵的局域化长度不超过 $C\left(\log W\right)^3 W^2$，其中 $W$ 为带宽，$C$ 为绝对常数。我们的方法由 Green 函数边到边向量作用途径结合 Schenker 方法构成。该方法可拆分并解耦作用，从而清晰地表明\emph{两个连续 Schur 补的向量作用之量级不可能同时大于一个绝对常数}。此为方法的核心技术要素。它源自颇为复杂的估计 $($ 方法的主要估计 $)$，结合一个关联上述两个量级的方程。我们称后者为\emph{递推方程}。该方法导出\emph{在 $\gtrsim NW^{-1}$ 处向量作用的 $\log$ 范数方差的下界}，其中 $N$ 为 GOE 块的总数，适用条件为 $N\lesssim W^D$（$D\gg 1$ 为绝对常数）。