快速与大跳跃下的群集行为：稳定性、混沌与行波

我们研究了一个由 $n$ 粒子系统给出的群集模型，在该系统中每个粒子以给定速率向前跳跃一个随机量，该随机量独立采样自给定分布 $\theta$，其速率由粒子与系统质心带符号距离的非递增函数 $w$ 给出。该模型由 Bal\'azs 等人（2014）引入，并在 $w$ 有界的情况下研究了其部分性质。在本文中，我们关注 $w$ 无界的设定，这一特征导致了一个具有快速与大跳跃的相互作用粒子随机动力系统，而文献中关于此类系统的研究甚少。我们刻画了与该系统相关的经验测度过程的大 $n$ 极限（即所谓的“流体极限”），并证明了混沌传播结果。接下来，对于中心化的 $n$ 粒子系统，通过构造合适的 Lyapunov 函数，我们确立了平稳分布的存在性与唯一性，并研究了其尾部性质。在 $w$ 为指数函数且 $\theta$ 为指数分布的特殊情况下，通过证明 McKean-Vlasov 方程的所有平稳解必须是该方程的唯一不动点，我们证明了在 $t=\infty$ 时的混沌传播结果，并确立了从平稳态出发的粒子系统在大 $n$ 极限下收敛到 McKean-Vlasov 方程的行波解。这一结果的证明对于其他通常无法利用凸性或泛函不等式来确立此类结果的相互作用粒子系统可能具有借鉴意义。我们的工作回答了 Bal\'azs 等人提出的几个开放问题。