随机跟随者系统的长时间渐近行为

我们引入并分析了一类定义在实数轴上的相互作用粒子系统，融合了随机赛跑和（确定性）跟随者模型的特征。该粒子系统演化为连续时间纯跳跃过程：领头粒子以指数分布的跳跃时间独立运动，常数跳跃率，跳跃大小独立同分布，服从分布 $\theta$；其余每个粒子以其与紧跟其前的粒子距离为跳跃率，在指数分布的时间上向前跳跃，跳跃大小从相应的间隙中均匀抽取。该动态因此编码了领导权的竞争以及距离依赖的随机相互作用。我们的主要关注对象是相关的间隙过程，即粒子间距离的向量表示。我们证明了间隙过程存在唯一的平稳分布，并证明了其均匀几何ergodicity。进一步地，当领头粒子的跳跃大小服从指数分布时，我们显式地识别了平稳分布为独立指数分布的乘积，并显示其混合时间在 $\Theta(n)$ 和 $O(n(\log n)^2)$ 之间，其中 $n$ 为粒子数。作为混合时间结果的应用，我们建立了一个功能极限定理，用以在合适的空间和时间尺度下，以及在大粒子极限下，表征粒子状态在大时间下的波动。最后，当领头粒子的跳跃具有重尾但可积的分布时，我们显示在平稳状态下，每个间隙至少比领头跳跃分布多一个有限矩。该模型为探索非扩散性粒子系统中的ergodicity、显式不变分布及混合行为提供了可分析的设置。