分层同伦理论中的有限性与有限控制

本文研究配备到有限偏序集 $P$ 的保守函子的 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的紧性与有限性。我们给出了 $\mathcal{C}$ 紧性的关于分层和 $\mathcal{C}\rightarrow P$ 的同伦链的充分条件。类似地，也给出了 $\mathcal{C}$ 有限性的条件。由此我们推导出：若 $X\rightarrow P$ 是锥分层空间，且其分层及其局部链的弱同伦型是紧的（分别有限的）$\infty$-群胚，则 $\text{Exit}_P(X)$ 是紧的（分别有限的）。这给出了 Porta 和 Teyssier 提出的问题的肯定回答。若 $X\rightarrow P$ 配备锥光滑结构（例如 Whitney 分层），我们证明 $\text{Exit}_P(X)$ 有限当且仅当 $X\rightarrow P$ 的各分层的弱同伦型是有限的。上述特征依赖于当 $X\rightarrow P$ 紧且锥光滑时 $\text{Exit}_P(X)$ 的有限性。我们通过证明在拓扑范畴中类似命题不成立来结束本文。更明确地说，我们给出了一个紧的 $C^0$ 分层空间的例子，其退出路径 $\infty$-范畴是紧的但不是有限的。该分层空间由 Quinn 构造。我们还观察到，这提供了一个不可 admits 任何锥光滑结构的 $C^0$ 分层空间的非平凡例子。