关于Calogero--Sutherland导数非线性薛定谔方程的有限时间 blow-up解

我们构造了一个光滑的有限时间 blow-up解的显式族，针对的是给定的 focusing Calogero--Sutherland 导数非线性薛定谔方程，即 $$i \partial_t u = -\partial_x^2 u - 2 D \Pi(|u|^2) u \quad \mbox{with} \quad (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{T} ,$$ 其中 $D=-i \partial_x$，$\Pi$ 表示 Cauchy--Szeg\H{o} 投影器。这是一个质量临界的NLS类方程，具有Lax对结构。对于初始 $L^2$ 质量 $\| u_0 \|_{L^2}^2 < 1$ 的情形，该Cauchy问题在 Hardy-Sobolev 空间 $H^s_+(\mathbb{T})=L^2_+(\mathbb{T}) \cap H^s(\mathbb{T})$ 中全局存在唯一解，此结果已在 [R.~Badreddine, Pure Appl. Anal. 6 (2024)] 中证明。通过一种非扰动方法，我们构造了具有 $L^2$ 质量在整个范围 $1 < \|u_0 \|_{L^2}^2 <2$ 内的光滑 blow-up初始数据。其策略基于对显式公式进行稳定性分析，结合适当选择的有限间隙势作为初始数据，这些初始数据从离散的平凡平面波 $e^{i m x}$（其中 $m \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$）中分叉。更具体地说，我们找到了一族光滑的初始数据 $u_0$ 在 $L^2_+(\mathbb{T})$ 中，使得对应的解 $u(t)$ 在某个有限时间 $0 < T < \infty$ 处 blow-up，且满足 \| u(t) \|_{H^s} \sim \frac{1}{(T-t)^{2s}} \quad \mbox{as} \quad \mbox{$t \nearrow T$} \quad \mbox{for all $s > 0$} 。此外，我们对 blow-up 动力学给出完整描述，并确定了 $u(t)$ 在 $t \nearrow T$ 时在 $L^2_+(\mathbb{T})$ 中的唯一弱极限。最后，我们展示了这些 blow-up 解的不稳定性，并通过展示具有任意大 $L^2$ 质量的有限间隙势初始数据的全局存在性来补充我们的结果。