Kiselev-Sarsam方程多维模型的有限时间 blow-up

本文提出并研究了一个形式为\n\begin{eqnarray*}\n\partial_t\rho+g\mathcal{R}_a\rho\cdot \nabla\rho= 0,~\rho(\cdot,0)=\rho_{0},\n\end{eqnarray*}\n的多维非局部活性标量方程，其中变换$\mathcal{R}_a$定义为\n\begin{eqnarray*}\n\mathcal{R}_af(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}P.V.\int\limits_{\mathbb{R}^n}\Big(\frac{x-y}{|x-y|^{n+1}}-\frac{x-y}{(|x-y|^2+a^2)^{\frac{n+1}{2}}}\Big)f(y)dy.\n\end{eqnarray*}\n本模型可视为对著名Kiselev-Sasarm方程的自然推广，该方程于[19]引入作为二维不可压缩孔素方程的一维模型。我们证明了该多维模型的局部良好可定性，以及一类径向初始数据的梯度在有限时间内的 blow-up。