与 $F_p[x]$ 相关的有限非交换几何

已知 $\Bbb F_p[x]$ 上不可约非交换微分结构由不可约首一多项式 $m$ 分类。我们证明上同调 $H_{\rm dR}^0(\Bbb F_p[x]; m)=\Bbb F_p[g_d]$ 当且仅当 ${\rm Tr}(m)\ne 0$，其中 $g_d=x^{p^d}-x$，$d$ 为 $m$ 的次数。这意味着存在 ${p-1\over pd}\sum_{k|d, p\nmid k}\mu_M(k)p^{d\over k}$ 种此类非交换微分结构（$\mu_M$ 为 M\"obius 函数）。受消去该零阶上同调的启发，我们考虑有限维 Hopf 代数 $A_d=\Bbb F_p[x]/(g_d)$ 的有向系统及其继承的余协变微分演算 $\Omega(A_d;m)$。我们证明 $A_d=C_d\otimes_\chi A_1$ 是一个余循环扩张，其中 $C_d=A_d^\psi$ 是在 $\psi(x)=x+1$ 下固定的元素子代数。我们还有一个 Frobenius 不动子代数 $B_d$，其维数为 $\frac{1}{d} \sum_{k | d} \phi(k) p^\frac{d}{k}$（$\phi$ 为欧拉函数），当 $p=2$ 时推广了布尔代数。作为特例，$A_1\cong \Bbb F_p(\Bbb Z/p\Bbb Z)$，即有限群 $\Bbb Z/p\Bbb Z$ 上的函数代数，并且我们对偶地证明 $\Bbb F_p\Bbb Z/p\Bbb Z\cong\Bbb F_p[L]/(L^p)$ 对应一个“李代数”生成元 $L$，其中 $e^L$ 为类群元，使用了截断指数。相比之下，$\Bbb F_2$ 上的 $A_2$ 是 $\Bbb F_2((\Bbb Z/2\Bbb Z)^2)$ 的余循环修正，并且是 3 元素布尔代数的 1 维扩张。在这两种情况下，我们计算了双模非交换几何中的傅里叶理论、不变度量和列维-奇维塔联络。