Z² 上具可分势的离散周期薛定谔算子的费米等谱性

设 $\Gamma=q_1\mathbb{Z}\oplus q_2 \mathbb{Z}$ 且 $q_1\in \mathbb{Z}_+$ 与 $q_2\in\mathbb{Z}_+$。令 $\Delta+X$ 为 $\mathbb{Z}^2$ 上的离散周期薛定谔算子，其中 $\Delta$ 为离散拉普拉斯算子，$X:\mathbb{Z}^2\to \mathbb{C}$ 为 $\Gamma$-周期。本文中，我们发展复分析工具以研究离散周期薛定谔算子的等谱性。我们证明，若两个 $\Gamma$-周期势 $X$ 与 $Y$ 是费米等谱的，且 $X=X_1\oplus X_2$ 与 $Y= Y_1\oplus Y_2$ 均为可分函数，则除常数外，一维势 $X_j$ 与 $Y_j$ 是 Floquet 等谱的，$j=1,2$。这使我们能够证明，对任意非常数可分实值 $\Gamma$-周期势，对任意 $\lambda\in \mathbb{C}$，费米簇 $F_{\lambda}(V)/\mathbb{Z}^2$ 是不可约的，这部分证实了 Gieseker、Knörrer 与 Trubowitz 在 1990 年代初的一个猜想。