任意维几何 Borg 定理的证明

设 $\Delta+V$ 为离散 Schr"odinger 算子，其中 $\Delta$ 是 $\mathbb{Z}^d$ 上的离散拉普拉斯算子，势 $V:\mathbb{Z}^d\to \mathbb{C}$ 为 $\Gamma$-周期，且 $\Gamma=q_1\mathbb{Z}\oplus q_2 \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus q_d\mathbb{Z}$。本研究对使得 $\Delta+V$ 的 Bloch 簇包含一整函数图像的复值 $\Gamma$-周期函数给出全面刻画；特别地，我们证明恰有 $q_1q_2\cdots q_d$ 个此类函数（模 Floquet 等谱性与平移）。此外，将此认识应用于实值函数 $V$，我们证明 $V$ 为常数当且仅当 $\Delta+V$ 的 Bloch 簇包含一整函数图像，这证实了关于任意维几何版 Borg 定理的猜想。