Feigin-Odesskii 括号、合冲与 Cremona 变换

我们将与次数为 $n$ 的正规椭圆曲线 $C\subset {\mathbb P}^{n-1}$ 相关联的 Feigin-Odesskii 括号 $q_{n,1}(C)$，与 Fisher 在 arXiv:1510.04327 中针对 $C$ 的割线簇相关的某些极小自由分解所引入的二次型反对称 $n\times n$ 矩阵等同起来。另一方面，我们证明对于奇数 $n$，$C$ 的 codimension $3$ 割线簇的理想生成元给出了 ${\mathbb P}^{n-1}$ 的一个 Cremona 变换，推广了 ${\mathbb P}^4$ 中的四次-三次 Cremona 变换。我们将此变换与 arXiv:alg-geom/9712022 中考虑的变换等同，并给出其逆变换的显式公式。我们还找到了 arXiv:alg-geom/9712022 中与 $C$ 上高秩丛相关的 Cremona 变换的多项式公式。