具有指定雅可比矩阵的映射的参数化 h-原理的失效

设 M 和 N 为闭的 n 维流形，并在 N 上赋予体积形式 \sigma。设 \mu 为 M 上的一个恰当 n-形式。Arnold 随后提出如下问题：何时能找到一个映射 f:N\to M 使得 f^*\sigma=\mu。1973 年 Eliashberg 与 Gromov 证明了该问题在深层意义上是平凡的：它满足 h-原理，且只要能找到一个丛映射 f_{bdl}:T M \to T N，其在底空间上度为 0 并诱导出 \mu，便可将该映射同伦到一个解 f。亦即，若满足朴素拓扑条件，便能找到解。该问题中不存在进一步的有趣几何。我们证明了相应的参数化 h-原理失效——若考虑从 \sigma 诱导 \mu 的映射族，可在解空间中找到未被 h-原理所预测的有趣拓扑。此外，此类映射的同伦型是量子化的：对于某些形式族，同伦型保持不变，仅在离散值处跳跃。