测度的分解及其在弱 Goldfeld 猜想上的应用

推广 Gross 的结果，我们证明了某种测度分解对所有 $p$ 以及任意 conductor 的任意有限偶 Dirichlet 特征 $\chi$ 均成立，而非仅对分裂 $p$ 及 conductor 为 $p$ 的幂的 $\chi$ 成立。利用这一推广，我们得到了在椭圆曲线满足某些假设下，使 $E$ 在 $K$ 上的某个选定二次扭曲线具有秩 $1$ 的虚二次域 $K$ 所占比例的低界。我们还得到了当我们变动扭转因子 $D$ 时，具有秩 $1$ 的二次扭转所占比例的下界和上界，前提是 $\omega$（素因子计数函数）充分接近由 Erd\"os-Kac 所描述的高斯分布。我们将类似方法应用于三次扭转，进而推导出使六次扭转具有秩 $1$ 的虚二次域所占比例的类似下界。最后，对于满足某些假设的 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，我们得到了（$\mathbb{Q}$ 上）具有秩 $0$ 和秩 $1$ 的二次扭转所占比例的正下界，从而给出了满足弱 Goldfeld 猜想的椭圆曲线例子。