带奇点的外乘：向量丛上的Saito定理

设$E$为合适微分流形$M$上的向量丛，令$\wedge^p E$表示$E$的$p$次外积。给定$E$的截面$\omega_1,\dots,\omega_k$和$\wedge^p E$的截面$\eta$，我们考虑$\eta$能否写成$$\eta=\sum \omega_i\wedge\gamma_i$$形式的问题，其中$\gamma_i$为$\wedge^{p-1}E$的截面。显然的必要条件$\Omega\wedge\eta=0$（其中$\Omega=\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_k$）须辅以如下条件：$\Omega$在$\Omega(x)=0$的点处具有充分正则的奇点。此类局部条件由K. Saito的代数定理所提示，并由$\Omega$的系数所定义理想的深度给出。在光滑、实解析和全纯（且$M$为Stein流形）范畴下，我们证明该条件对上述性质成立是充分的。此外，在光滑范畴下，它对算子$(\gamma_1,\dots,\gamma_k)\mapsto\sum \omega_i\wedge\gamma_i$的连续右逆之存在性也是充分的。所有这些结果在$E$为$M$的合适闭子集上的丛时也同样得证。