高斯-博内与霍普夫-庞加莱定理的推广

我们考虑紧致可定向二维流形 $M$ 上的一个局部平凡纤维丛 $\pi : E \to M$，以及该纤维丛在 $M \setminus \Sigma$ 上定义的一个截面 $s$，其中 $\Sigma$ 是 $M$ 的一个离散子集。我们称集合 $\Sigma$ 为截面 $s : M \setminus \Sigma \to E$ 的奇点集。我们假设截面 $s$ 在奇点处的行为按如下方式受控：$s(M \setminus \Sigma)$ 与带边界 $\partial S$ 的曲面 $S \subset E$ 的内部重合，且 $\partial S$ 为 $\pi^{-1}(\Sigma)$。对于此类截面 $s$，我们定义其在 $\Sigma$ 一点处的指标，该指标以自然方式推广了向量场零点的指标；随后证明这些点在 $\Sigma$ 上的指标之和可表示为由 $E$ 中一个联络构造的 $2$-形式在 $S$ 上的积分。进而我们表明经典的霍普夫-庞加莱-高斯-博内公式是本文结果的一个特例，并考察了其他一些应用。