$\mathbb{C}^2$ 中点 Hilbert 方案的 $\Gamma$ 不动点上的 Procesi 丛

对于 $\Gamma$ 为 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 的有限子群且 $n \geq 1$ 的情况，我们研究平面上 $n$ 个点的 Hilbert 方案的 $\Gamma$ 不动点上 Procesi 丛的纤维。对于该不动点轨迹的每个不可约分支，我们的方法将作为 $(\mathfrak{S}_n \times \Gamma)$-模对 Procesi 丛纤维的研究，简化为对较小 Hilbert 方案中零维不可约分支上 Procesi 丛纤维的研究。当 $\Gamma$ 为 $A$ 型时，我们的主要结果作为推论表明，与划分 $\lambda$ 相关联的单项理想上的 Procesi 丛纤维，作为 $(\mathfrak{S}_n \times \Gamma)$-模，是由与 $\lambda$ 的核相关联的单项理想上的 Procesi 丛纤维诱导的。我们在两种边缘情况下给出了该推论的不同证明，仅使用表示论和对称函数。