李代数的扩张与自同构

设 $0 \to A \to L \to B \to 0$ 为域 $F$ 上李代数的一个短正合序列，其中 $A$ 为阿贝尔李代数。我们证明，$\Aut(A) \times \Aut(B)$ 中的一对自同构能否由 $\Aut(L)$ 中的一个自同构诱导，其障碍位于李代数上同调 $\Ha^2(B;A)$ 中。由此，我们得到一个联系李代数的自同构、导子和上同调的四项正合序列。我们还针对 $\Aut\big(L_{n,2}^{(1)}\big) \times \Aut\big(L_{n,2}^{ab}\big)$ 中的一对自同构能否由 $\Aut\big(L_{n,2}\big)$ 中的一个自同构诱导，得到了一个更显式的充要条件，其中 $L_{n,2}$ 是秩为 $n$、幂零步数为 $2$ 的自由幂零李代数。