将 Torelli 映射延拓至曲线模空间的替代紧化

确定当底层曲线退化时 Jacobian 的极限行为一直备受关注。对于节点奇点，Caporaso 和 Pandharipande 给出了稳定曲线模空间上紧化泛 Jacobian 的优美构造。随后，Alexeev 通过将 Torelli 映射从 $\mathcal{M}_{g,n}$ 的 Deligne-Mumford 紧化向外延拓，得到了一个典范的此类紧化。相反，Alexeev 和 Brunyate 证明了在 Schubert 的伪稳定曲线替代紧化中，Torelli 映射无法延拓经过尖点轨迹。在本文中，我们考虑局部类似于 $m$ 维空间中坐标轴的曲线奇点，我们将其称为类轴奇点。我们构造了一个由具有此类奇点的曲线组成的 $\mathcal{M}_{g,n}$ 替代紧化，并证明 Torelli 映射可从该紧化向外延拓。此外，对于 Smyth 意义下的每一个替代紧化，我们均识别出一个类轴轨迹，使得 Torelli 映射可从其向外延拓。