有限状态机对高维网格的探索

我们考虑由初始同址的有限状态智能体（侦察兵/机器人）在 $n$ 维无限网格（$n\geq 3$）的未知点寻找宝藏的问题。最近，该问题在 2 维情形下已得到很好的刻画，涵盖了确定性及随机化智能体，包括同步和半同步模型。有猜想认为，在 $n$ 维网格中解决此问题需要 $n+1$ 个随机化智能体。在本文中，我们强有力地反驳了该猜想：我们证明三个同步随机化智能体足以探索任意 $n$ 维网格。我们的算法在智能体数量上是最优的。我们的关键洞察是，有限个有限状态机智能体可以通过其位置和运动实现一个栈，该栈可以存储正在探索的路径。我们还展示了如何使用以下配置来实现我们的算法：四个半同步随机化智能体；四个同步确定性智能体；或五个半同步确定性智能体。我们给出了一个不同的算法，在 3 维网格中使用 4 个半同步确定性智能体。这被证明是最优的，且令人惊讶的是，它与 2 维情形的结果相匹配。对于 $n\geq 4$，上述解法的时间复杂度相对于宝藏到智能体起点的距离 $D$ 呈指数级。我们证明，在确定性情形下，增加一个智能体可将时间降至多项式级。最后，我们关注那些从不超出距离 $D$ 太多的算法。我们描述了一个使用 $O(\sqrt{n})$ 个半同步确定性智能体且从不超出 $2D$ 的算法，同时证明了在 3 维情形下任何使用 3 个同步确定性智能体的算法必定会偏离原点超出 $\Omega(D^{3/2})$。