五次以内平面曲线的显式线性普法夫表示

设 $R$ 为含 1 的交换环。我们证明 $R[x_0,x_1,x_2]$ 中每个次数不超过 5 的齐次多项式 $f(x_0,x_1,x_2)$ 都容许线性 Pfaffian $R$-表示。我们认为在概念上我们给出了尽可能简短的自包含证明：我们显式地给出了这样一个表示。在此意义上，我们将 A. Beauville 关于任意次数的光滑平面曲线存在 Pfaffian 表示的结果推广到（不超过）5 次。