任意四面体网格稀疏逆质量矩阵的显式几何构造

有限元方法（FEM）的几何重解释表明，Raviart Thomas 与 Nedelec 质量矩阵将依附于四面体网格几何元素的自由度（DoFs）映射到依附于重心对偶网格的自由度。质量矩阵的代数逆将依附于重心对偶网格的自由度映射回相应的原始四面体网格的自由度，但由于其稠密性而实际用途有限。本文针对任意四面体网格及可能的各向异性材料，提出一种新的稀疏逆质量矩阵的几何构造方法，打破了重心对偶网格阻碍逆质量矩阵稀疏表示的传统认知。特别地，我们为边质量矩阵与面质量矩阵及其稀疏逆的构造提供了统一框架。这一统一原理依赖于新颖的几何重构公式，依据既有的设计策略，局部质量矩阵被构造为一致项与稳定项之和。与现有方法的主要区别在于，一致项是几何且显式定义的，即无需计算局部矩阵的逆。这带来了可观的加速与更简便的实现。我们利用这些新的稀疏逆质量矩阵离散化一个三维 Poisson 问题，并在具有解析解的基准问题上比较了不同公式所得结果。