四边形与六面体网格上有限元方法的代数对偶多项式表示之构造与应用

给定一组构成 de Rham 序列的有限元空间，我们将构造这些空间的对偶表示，并带有相连的差分算子使这些空间也构成 de Rham 序列。将原始表示转换为对偶表示的矩阵——Hodge 矩阵——即为质量矩阵或 Gram 矩阵。我们将证明原始表示与对偶表示的双线性形式等于两种表示展开系数（自由度）的向量内积。这导致即便对于高阶方法也能得到非常稀疏的系统矩阵。我们将定义对偶表示的导数。原始与对偶表示的向量运算、grad、curl 与 div 均为拓扑性的，且不依赖于度量，即不依赖于网格的尺寸与形状或数值方法的阶数。导数通过对表示的展开系数施加稀疏关联矩阵与包含矩阵来求值。作为对偶表示使用的示例，该方法将被应用于 i) 三维 Poisson 问题的混合格式，ii) 将表明此方法允许在有限维设定下保持 Dirichlet 与 Neumann 问题间的等价性，以及 iii) 该方法将被应用于仿射与非仿射网格上 grad-div 特征值问题的逼近。