对数奇异平面椭圆方程组的 Lipschitz 一次齐次解的显式例子

我们给出了偏微分方程组的例子，这些方程组允许形式为 $u(R,\theta) = Rg(\theta)$ 的非平凡、Lipschitz 且一次齐次的解，其中 $(R,\theta)$ 是平面极坐标，$g: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{m}$，$m \geq 2$。这些方程组是奇异的，因为它们作为泛函 $I(u) = \int_{B}W(x,\nabla u(x))\,dx$ 的 Euler-Lagrange 方程出现，其中当 $|x| \to 0$ 时 $D_{F}W(x,F)$ 的表现如同 $\frac{1}{|x|}$，且 $W$ 满足椭圆性条件。当 $|x| \to 0$ 时若 $|x|D_{F}W(x,F) \to 0$，则此类解不可能存在，因此该条件是最优的。相关分析利用了著名的 Fefferman-Stein 对偶性。我们还讨论了这些一次齐次解的唯一性条件，并证明它们是某些变分泛函的极小值。