对称最近邻子移位的显式熵界

我们提供了 Friedland 关于对称最近邻子移位的拓扑熵 $h$ 是可计算的这一结果的另一种方法。不同于以往的代数技术，我们的方法主要是组合性的，仅涉及 $\mathbb Z^d$ 中立方体 $[1,n]^d$ 的局部可容许模式 $C_n$ 的计数。核心思想是一种反射-粘合构造：我们翻转可容许模式并沿其边界合并。除了提供一个简短且初等的证明外，另一个优势是我们的方法在任意维度下都能产生显式的收敛速率，而在 Friedland 的方法中，即使对于 $\mathbb Z^3$ 获得这样的速率也已经很复杂。特别地，我们证明对于每个 $n\ge 1$，$$\frac{1}{n^d}(\log C_{n+1} - q_d(n)\log|\Sigma|) \le h \le \frac{1}{n^d} \log C_n,$$ 其中 $\Sigma$ 是字母表，且 $$q_d(n)=(2^d-1)\sum_{k=0}^{d-1} \frac{\binom{d}{k}}{2^d-2^k}\, n^k.$$