有界域首次退出时间前布朗运动的期望签名

路径的签名从自上而下的角度，以其作为控制的效果来描述路径 [Differential Equations Driven by Rough Paths (2007) Springer]。签名将路径转化为张量代数中的一个群元，是粗糙路径理论中的一个基本对象。随机过程的期望签名所起的作用类似于随机变量的特征函数。在 [Chevyrev (2013)] 中，证明了在某些有界性条件下，随机签名的期望值已经决定了该随机签名的分布。因此，能够计算期望签名的例子并获得期望签名衰减率的上界变得非常有意义。例如，$[0,1]$ 上布朗运动的计算引出了“维纳空间上的立方体”方法 [Lyons and Victoir, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 460 (2004) 169-198]。在本文中，我们固定欧几里得空间 $E$ 中的一个有界域 $\Gamma$，并研究从 $z\in\Gamma$ 出发并在首次退出 $\Gamma$ 时停止的布朗路径的期望签名。我们将这个张量级数值函数记为 $\Phi_{\Gamma}(z)$，并关注 $E=\mathbb{R}^d$ 的情形。我们证明 $\Phi_{\Gamma}(z)$ 满足一个椭圆型偏微分方程组和一个边界条件。决定 $\Phi_{\Gamma}$ 的方程可以递归求解；通过迭代应用 Sobolev 估计，我们能够在域 $\Gamma$ 的某些光滑性和有界性条件下，证明 $\Phi_{\Gamma}(z)$ 中各项的几何界。然而，仍然存在一个差距，我们尚未证明即使 $\Gamma$ 是单位球，$\Phi_{\Gamma}(z)$ 也能决定这个停止布朗运动签名的分布。