物理布朗运动期望签名的微小质量极限

物理布朗运动描述了经历摩擦力的布朗粒子的动力学。在经典工作 [L. S. Ornstein and G. E. Uhlenbeck, Phys. Rev. 36 (1930)] 中，其作为实现标准“数学”布朗运动的具有物理意义的方法被研究，通过令质量 $m \to 0^+$ 并进行自然缩放。该分析在 [P. Friz, P. Gassiat, and T. Lyons, Trans. Amer. Math. Soc. 367 (2015)] 中被推广至外磁场中的布朗粒子，发现了新现象：与该物理过程相关的面积过程收敛——但并非收敛至 Lévy 随机面积。本文中，我们对一个广义随机微分方程（SDE）模型进行奇异极限分析，该模型以物理布朗运动为特例。我们证明广义 SDE 解 $\{P_t\}_{t \geq 0}$ 的期望签名（expected signature）在 $m \to 0^+$ 时，于张量代数的每一阶及每一时间区间 $[0,T]$ 上收敛至一个非平凡张量，这基于针对 Itô 扩散过程期望签名的分次 PDE 系统所作的精细收敛分析。此外，当 SDE 中系数矩阵 $\mathscr{M}$ 可对角化时，获得了展现奇妙组合模式的显式解。在物理布朗运动情形，$\{P_t\}_{t \geq 0}$ 对应粒子动量（视为粗糙路径），而 $\mathscr{M}$ 为应力张量。我们的工作似乎是最早研究扩散过程期望签名奇异极限的努力之一，尤其针对非零初值 $p=P_0$。