磁场中的物理布朗运动作为粗糙路径
概率论
2013-02-12 v1
摘要
均匀化 Ornstein-Uhlenbeck 过程的不定积分是物理布朗运动的一个众所周知的模型，用于模拟受随机脉冲作用的物体行为 [L. S. Ornstein, G. E. Uhlenbeck: On the theory of Brownian Motion. In: Physical Review. 36, 1930, 823-841]。人们可以通过改变粒子质量来缩放这些模型，在小质量极限下，其在分布上几乎必然一致收敛于标准的理想化数学布朗运动模型。这提供了实现 Wiener 过程的一种熟知方法。然而，这一结果不如表面看起来那样稳健，物理布朗运动轨迹的重要泛函在取小质量极限时不一定收敛于布朗运动的相应泛函。在存在磁场的情况下，与物理过程相关的面积过程收敛，但不收敛于 L\'evy 随机面积。由于该面积在粒子通过力场以非线性方式相互作用的设定中被普遍感受到，这一评论具有物理意义，并表明具有通常随机微积分的经典布朗运动不是极限行为的适当模型。我们显式计算了面积修正项，并建立了在小质量极限下物理布朗运动在粗糙路径 (rough path) 意义下的收敛性。带电粒子在磁场存在下的小质量极限运动，在分布上是一个易于计算但“非规范”的布朗运动粗糙路径提升。将具有小质量的带电布朗粒子的轨迹视为粗糙路径具有启发性，并允许保留仅将其视为经典轨迹时会丢失的信息。我们评论了这一观点的重要性。
引用
@article{arxiv.1302.2531,
title = {Physical Brownian motion in magnetic field as rough path},
author = {Peter Friz and Paul Gassiat and Terry Lyons},
journal= {arXiv preprint arXiv:1302.2531},
year = {2013}
}