不稳定 Lane-Emden 星附近的膨胀解

我们考虑多方过程 $P(\rho)=K\rho^{\gamma}$（其中 $\gamma\in \left(\frac{6}{5},\frac{4}{3} \right)$）及白矮星的可压缩 Euler-Poisson 方程。对于 $\gamma=\frac{4}{3}$，我们证明了对于质量小于 Lane-Emden 星（即非旋转多方过程）的球对称初始数据，全局弱解的存在性。对于 $\gamma\in \left(\frac{6}{5},\frac{4}{3} \right)$，我们证明了在包含 Lane-Emden 星邻域的不变集中，球对称初始数据存在全局弱解。此外，这些解的支撑集膨胀至无穷大。作为推论，这证明了 $\gamma\in \left( \frac{6}{5},\frac{4}{3}\right]$ 时 Lane-Emden 星的强不稳定性。对于 $\gamma\in \left(\frac{6}{5},\frac{4}{3} \right)$，我们的结果提供了 Lane-Emden 星附近膨胀解的首个例子。对于白矮星，我们证明了如果初始数据的质量小于 Chandrasekhar 极限质量（即非旋转白矮星质量的上确界），则解不会坍缩。我们的证明强烈依赖于 Lane-Emden 星的变分特征。首先，我们将 Hardy-Littlewood 型不等式的最佳常数与 $\gamma=\frac{4}{3}$ 时 Lane-Emden 星的质量联系起来，并进一步证明其等于 Chandrasekhar 极限质量。对于 $\gamma\in\left( \frac{6}{5},\frac{4}{3}\right)$，我们证明 Lane-Emden 星是在 Pohozaev 型约束下某能量-质量泛函的最小化元。这对于构建膨胀解的不变集至关重要。