实心环上临界或超临界情形的指数型椭圆边值问题

本文研究了定义在$\mathbb{R}^3$中实心环$\bar{T}$上的非线性指数型椭圆模型问题，当数据在群$G=O(2)\times I \subset O(3)$下不变时，正解和非径向对称解的存在性与行为。感兴趣的模型问题如下：{ll} {\bf(P_1)} & \displaystyle \Delta\upsilon+\gamma=f(x)e^\upsilon, \upsilon>0\quad \mathrm{on} \quad T, \quad\upsilon |_{_{\partial T}}=0. 和 {ll}\bf{(P_2)} & \displaystyle \Delta\upsilon+a+fe^\upsilon=0, \upsilon>0\quad \mathrm{on}\quad T, [1.3ex] &\displaystyle \frac{\partial \upsilon}{\partial n}+b+ge^\upsilon=0\quad \mathrm{on} \quad{\partial T}. 我们证明存在$G$-不变解，且这些解不显示径向对称性。为了解决上述问题，我们需要在例外情形下找到索伯列夫不等式中的最佳常数。