标量超线性BSDE无界解的存在性、唯一性与比较定理

本文研究标量倒向随机微分方程(BSDE)无界解的存在性、唯一性及比较定理,该方程生成元关于未知变量$y$和$z$均以超线性方式增长,如$|y||\ln |y||^{(\lambda+1/2)\wedge 1}+|z||\ln |z||^{\lambda}$(某$\lambda\geq 0$)。针对增长幂参数$\lambda$的如下四个不同范围:$\lambda=0$、$\lambda\in (0,1/2)$、$\lambda=1/2$及$\lambda>1/2$,我们给出了BSDE无界解存在时终端值合理最弱的可积性条件。前两种情形强于$L\ln L$可积性而弱于任意$p>1$的$L^p$可积性;第三种情形恰为某$p>1$的$L^p$可积性;最后一种情形强于任意$p>1$的$L^p$可积性而弱于任意$\epsilon\in (0,1)$的$\exp(L^\epsilon)$可积性。我们还建立了比较定理,当两个BSDE的生成元均关于未知变量$(y,z)$凸(凹),或关于首未知变量$y$满足单侧Osgood条件且关于次未知变量$z$满足一致连续条件时,该定理自然导出唯一性。