平面上半波薛定谔方程的修正波算子存在性与无穷级联结果

我们考虑如下半波薛定谔方程,$$\left(i \partial_{t}+\partial_{x }^2-\left|D_{y}\right|\right) U=|U|^{2} U$$在平面 $\mathbb{R}_x \times \mathbb{R}_y$ 上。我们证明了该方程的小衰减解与非手性三次 Szegő 方程的小衰减解之间修正波算子的存在性,这类似于 H. Xu [16] 在 $\mathbb{R}_x \times \mathbb{T}_y$ 上获得的修正波算子存在性结果。随后,我们将修正波算子结果与 P. Gérard 和 A. Pushnitski 最近关于三次 Szegő 方程的级联结果 [7] 相结合,推得存在半波薛定谔方程的解 $U$,使得当 $t \rightarrow +\infty$ 时 $\|U(t)\|_{L_{x}^{2} H_{y}^{1}}$ 以 $\log t$ 的速率趋于无穷。这表明平面上的半波薛定谔方程是极少数具有小光滑数据整体解、且其 $H^s$ 范数随 $t$ 趋于无穷而趋于无穷的色散方程之一。