球面乘积上的自由作用示例

我们构造了 $S^1$ 被 $\cy 3 \times \cy 3$ 的一个非阿贝尔扩张 $\Gamma$,并证明 $\Gamma$ 在 $S^{5} \times S^{5}$ 上有自由光滑作用。这为无穷族 $\cP$ 的有限 3-群提供了 $S^{5} \times S^{5}$ 上的新作用。我们还证明,例外李群 $G_2$ 的任何有限奇数阶子群都容许 $S^{11}\times S^{11}$ 上的一个自由光滑作用。这为无穷族 $\cE$ 的有限群提供了 $S^{11} \times S^{11}$ 上的新作用。我们解释了这些族 $\cP$、$\cE$ 对一般存在性问题的意义,并修正了文献中的一些错误。