extraspecial $p$-群在 $S^n \times S^n$ 上的自由作用

设 $p$ 为奇正则素数，$G_p$ 表示阶为 $p^{3}$、指数为 $p$ 的 extraspecial $p$-群。我们证明 $G_p$ 自由且光滑地作用于 $S^{2p-1} \times S^{2p-1}$。对于 $p=3$，我们显式构造了包含 $G_3$ 的 Lie 群 $\widetilde{G}_3$ 在 $S^{5} \times S^{5}$ 上的自由光滑作用。此外，我们证明例外 Lie 群 $\Gtwo$ 的任意有限奇阶子群在 $S^{11}\times S^{11}$ 上容许自由光滑作用。