一般平面波边界条件下多分量非线性薛定谔方程的精确解

我们在一般非零边界条件下构造了可积多分量非线性薛定谔 (NLS) 方程的精确孤子解。向量（或矩阵）因变量的不同分量在空间无穷远处可以趋近于具有不同波数和频率的平面波。我们将 B"acklund-Darboux 变换应用于具有自聚焦非线性、自散焦非线性或混合聚焦 - 散焦非线性的三次 NLS 方程。根据非线性项的符号和 B"acklund-Darboux 变换的类型，获得了亮孤子解和暗孤子解。多分量孤子通常具有内部自由度，并提供了标量 NLS 孤子的高度非平凡推广。构造多分量孤子的主要步骤是计算由 Lax 对产生的常数非对角矩阵的矩阵指数。通过对非对角矩阵进行合适的重参数化，对于最有趣的情况（如二分量向量 NLS 方程），矩阵指数可以以闭式显式计算。特别地，我们在对角化 $3 \times 3$ 矩阵时没有诉诸 Cardano 公式，因此我们在某种意义上得到的多分量孤子表达式比 [Q-H. Park 和 H. J. Shin, Phys. Rev. E 61 (2000) 3093] 中获得的表达式更显式且更有用。