幂律阻尼接触振子的精确相空间解析解

我们对由$m\ddot{\delta} + \alpha\sqrt{mk_H}\,\delta^{(p-1)/2}\dot{\delta} + k_H\delta^p = 0$控制的幂律阻尼接触振子进行了精确的相空间解析处理，该处理对所有力律指数$p \geq 1$和所有初始冲击速度$v_0$均有效。核心结果是变换$\delta = Ax^{2/(p+1)}$，其中$A = [(p+1)/2]^{1/(p+1)}$，该变换将非线性相空间方程$v\,dv/d\delta + \dots = 0$精确映射到具有有效阻尼比$\alpha_\text{eff} = \frac{\alpha}{\sqrt{2(p+1)}}$的线性弹簧-阻尼器（LSD）系统。相轨迹$v(\delta)$、恢复系数$e$和最大侵入量$\delta_\text{max}$均以闭式给出。物理时域解$(\delta(t), v(t))$通过单个积分参数化获得，该积分在$p=1$时解析求值，对所有其他$p$的数值代价可忽略。我们证明$e$对所有$p \geq 1$精确独立于$v_0$，并推导了通用校准公式：$\alpha = \sqrt{2(p+1)}\cdot\frac{-\ln e}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2 e}}$。这将$p=1$（线性弹簧-阻尼器）和$p=3/2$（赫兹接触，Antypov和Elliott, 2011）的已知结果推广到整个幂律族。还推导了显式时间积分的临界时间步长的闭式估计，该估计呈现出与冲击速度和力律指数的通用标度关系。