PDM 阻尼驱动振子：精确可解性、经典态交叉与自交叉

在标准拉格朗日与哈密顿框架下，我们考虑一个位置依赖质量（PDM）经典粒子，在保守谐振子力场 $V\left( x\right) =\frac{1}{2}\omega ^{2}Q\left( x\right) x^{2}$ 作用下、受 Rayleigh 耗散力场 $\mathcal{R}\left( x,\dot{x}\right) =\frac{1}{2}b\,m\left( x\right) \dot{x}^{2}$ 影响、并处于外部周期（非自治）力 $F\left( t\right) =F_{\circ }\,\cos \left( \Omega t\right)$ 中，进行阻尼驱动振荡（DDO）运动。其中，坐标形变 $\sqrt{Q(x)}$ 与速度形变 $\sqrt{m(x)}$ 的关联由点正则变换 $q\left( x\right) =\int \sqrt{m\left( x\right) }dx=\sqrt{Q\left( x\right) }x$ 支配。我们用了两个示例：非奇异 PDM-DDO 与幂律 PDM-DDO 模型。我们分析并报告了经典态 $\{x(t),p(t)\}$ 的交叉。此外，我们观测到并报告：当一个经典态 $\{x_{i}(t),p_{i}(t)\}$ 随时间演化时，它可能在较早和/或较晚的时刻发生自交叉。