二维布朗运动分量极值的精确渐近性

我们推导了 $$P\left( \sup_{t\ge 0} \Bigl( X_1(t) - \mu_1 t\Bigr)> u, \ \sup_{s\ge 0} \Bigl( X_2(s) - \mu_2 s\Bigr)> u \right), \ \ u\to\infty,$$ 的精确渐近性，其中 $(X_1(t),X_2(s))_{t,s\ge0}$ 是相关系数为 $\rho\in[-1,1]$ 且 $\mu_1,\mu_2>0$ 的关联二维布朗运动。看来 $\rho$ 与 $\mu_1,\mu_2$ 之间的相互作用导致了若干类型的渐近性。尽管作为 $\rho$ 的函数的渐近性中的指数部分是连续的，但可观察到依赖于 $\rho$ 取值范围的不同类型的 prefactor 函数，这构成了一种相型转变现象。