哈密顿群完备化中的本质环路

我们开启对哈密顿微分同胚群的自然完备化——即其 $C^0$ 闭包 $\overline{\mathrm{Ham}}(M,\omega)$ 及其关于谱范数的完备化 $\widehat{\mathrm{Ham}}(M,\omega)$——的基本群的研究。我们证明在某些情形下，即复射影空间与有理 Hirzebruch 曲面，某些已知在 $\pi_1\big(\mathrm{Ham}(M,\omega)\big)$ 中非平凡的哈密顿环路在 $\pi_1\big(\widehat{\mathrm{Ham}}(M,\omega)\big)$ 中仍为非平凡。这在某些特例（包括 $\mathbb C\mathrm P^2$ 与单调 $S^2\times S^2$）中给出了由包含诱导的映射 $\pi_1\big(\mathrm{Ham}(M,\omega)\big)\to\pi_1\big(\widehat{\mathrm{Ham}}(M,\omega)\big)$ 的单射性。同样的结果对 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 的 Hofer 完备化成立。此外，只要谱范数已知为 $C^0$ 连续，它们对 $\overline{\mathrm{Ham}}(M,\omega)$ 也成立。我们的方法依赖于 Seidel 元素赋值以及从而在 $\pi_1\big(\mathrm{Ham}(M,\omega)\big)$ 上谱范数的计算。其中部分计算此前已知，但我们也给出可能具有独立意义的新计算。例如，我们证明当 $(M,\omega)$ 为任意非单调 $S^{2}\times S^{2}$ 时谱伪范数退化。相反，当 $M$ 为 $\mathbb C\mathrm P^{2}$ 的一点爆破时它是真正的范数；对小爆破尺寸它无界，并从单调情形起变为有界。