伴游均值与幂律衰减概率密度的刻画

伴游均值（或$q$-矩）是描述某些概率密度基本特征的有用理论工具，例如那些渐近衰减如{\it 幂律}的概率密度。它们自然地出现在许多复杂动力系统的研究中，特别是那些遵循非广延统计力学的系统，这是玻尔兹曼 - 吉布斯理论的当前推广形式。当$q=1$时，它们回归为标准均值（或矩）。在此，我们讨论通过一套合适的全部伴游均值及其相关归一化量集来刻画一个（非负）概率密度，前提是它们均收敛。这为$q=1$情形下利用标准矩刻画分布的熟知结论提供了一个自然推广，前提是所有标准矩具有{\it 有限}值。这一问题对于所有高于某阶的非零标准矩具有{\it 发散}值的概率密度（例如渐近衰减为幂律的概率密度）尤为相关，因为标准方法对此不适用。柯西 - 洛伦兹分布（其二次及更高阶偶数矩发散）构成了说明本研究意义的一个简单实例。在此背景下，我们还探讨了一些数学上的细微之处，旨在澄清一种有趣的非线性傅里叶变换推广（即所谓的$q$-傅里叶变换）的某些方面。