等变K理论与精细Vafa-Witten不变量

在[MT2]中，复射影曲面的Vafa-Witten理论被提升到定向$\mathbb C^*$-等变上同调理论。本文研究其K理论精细化。它给出$t^{1/2}$下的有理函数，在$t^{1/2}\leftrightarrow t^{-1/2}$下不变，并在$t=1$时特化为数值Vafa-Witten不变量。在“瞬子分支”上，这些不变量给出Göttsche-Kool的虚$\chi_{-t}^{}$-亏格精细化。将模性应用于他们的计算，可给出“单极子分支”贡献的预言。我们计算若干情形并发现完全吻合。我们还在K3曲面上进行计算，发现精细化通常模形式的Jacobi形式，证明了Göttsche-Kool的一个猜想。我们利用Eagon-Northcott复形确定了退化轨迹的K理论虚类，并证明它们计算精细Vafa-Witten不变量。基于此，Laarakker [Laa]证明了这些不变量的普适性结果。