$\mathrm{SU}(r)$ Vafa-Witten不变量、拉马努金连分数与宇宙弦

我们猜想具有全纯2-形式曲面的 $\mathrm{SU}(r)$ Vafa-Witten配分函数的结构公式。该猜想基于 $S$-对偶以及第三作者先前利用Gholampour-Thomas虚退化轨迹理论推导出的垂直贡献结构公式。对于秩 $r=2,3$，配分函数用 $A_{r-1}, A_{r-1}^{\vee}$ 的theta函数与Seiberg-Witten不变量的猜想表达式已知。我们猜想了 $r=4,5$ 时用 $A_{r-1}, A_{r-1}^{\vee}$ 的theta函数、Seiberg-Witten不变量及拉马努金研究的连分数的新表达式。我们猜想的垂直部分在低虚维数下通过嵌套Hilbert概形的计算得以证明。我们猜想的水平部分给出了Gieseker-Maruyama稳定层模空间虚欧拉示性数的预测。在此情形下，我们的公式是具有 $\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦扩张中系数的普适函数之和。对应于不同量子真空的普适函数在伽罗瓦群作用下置换。对于 $r=6, 7$，我们还发现了与 $\Gamma_0(r)$ 的Hauptmoduln的关系。我们给出了涉及弱Jacobi形式的 $r=2,3,4$ 的 $K$-理论细化。