扭曲层与 $\mathrm{SU}(r) / \mathbb{Z}_r$ Vafa-Witten 理论

$\mathrm{SU}(r)$ Vafa-Witten 配分函数在射影曲面 $S$ 上虚拟计数 Higgs 对，该函数由 Tanaka-Thomas 给出了数学定义。在 Langlands 对偶方面，第一作者最近引入了 $\mu_r$-gerbe 上 Higgs 对的虚拟计数。在本文中，我们转而使用 Yoshioka 的扭曲层模空间。利用有理 $B$-场扭曲的 Chern 特征标，我们在 $r$ 为素数时给出了 $\mathrm{SU}(r) / \mathbb{Z}_r$ Vafa-Witten 配分函数的新的数学定义。我们的定义使用了 de Jong 的周期-指标定理。$S$-对偶是物理学中的一个概念，它预测 $\mathrm{SU}(r)$ 和 $\mathrm{SU}(r) / \mathbb{Z}_r$ 配分函数通过模变换相关联。我们将其转化为一个数学猜想，并对所有 $K3$ 曲面和素数 $r$ 证明了该猜想。