$\overline{\mathscr{M}}_{g, n}$ 的等变 Euler 示性数

令 $\overline{\mathscr{M}}_{g, n}$ 为 $n$ 点稳定亏格 $g$ 曲线的模空间，令 $\mathscr{M}_{g, n}$ 为 $n$ 点亏格 $g$ 光滑曲线的模空间。在本文中，我们得到了由稳定 $\mathbb{S}$-模 $\mathcal{V}$ 生成的自由模算畴 $\mathbb{M}\mathcal{V}$ 的示性数的渐近展开，从而允许利用 $\mathscr{M}_{g'\!, n'}$ 的 $\mathbb{S}_{n'}$-等变 Euler 示性数（其中 $0\le g' \le g,$ $\textrm{max}\{0, 3 - 2g' \} \le n' \le 2(g - g') + n$）来有效计算 $\overline{\mathscr{M}}_{g, n}$ 的 $\mathbb{S}_{n}$-等变 Euler 示性数。这通过使 Getzler 和 Kapranov 对模算畴 $\mathbb{M}\mathcal{V}$ 示性数的积分表示变得有效，回答了他们提出的一个问题。为了说明该渐近展开如何使用，我们给出了在 $g = 0, 1$ 和 $2$ 时，用与 $\mathscr{M}_{g, n}$ 相关联的生成级数表示 $\overline{\mathscr{M}}_{g, n}$ 的 $\mathbb{S}_{n}$-等变 Euler 示性数生成级数的公式。