$\overline{\mathcal{M}}_{1, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的 $S_n$-等变 Euler 示性数

我们计算了 Kontsevich 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{1, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的 $S_n$-等变拓扑 Euler 示性数。设 $\overline{\mathcal{M}}_{1, n}^{\mathrm{nrt}}(\mathbb{P}^r, d) \subset \overline{\mathcal{M}}_{1, n}(\P^r, d)$ 表示来自无有理尾曲线的映射子空间，我们用 $\overline{\mathcal{M}}_{1, n}^{\mathrm{nrt}}(\mathbb{P}^r, d)$ 以及与由 Getzler 和 Pandharipande 确定的亏格零贡献的 plethysm 求解了 $\overline{\mathcal{M}}_{1, n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的 motive。通过固定 $\mathbb{P}^r$ 上的一般 $\mathbb{C}^\star$-作用，我们导出了 $\overline{\mathcal{M}}_{1, n}^{\mathrm{nrt}}(\mathbb{P}^r, d)^{\mathbb{C}^\star}$ 的 Euler 示性数作为 $S_n$-等变虚拟混合 Hodge 结构的闭公式，从而得到了 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$ 的 Euler 示性数的主公式。我们的方法将 Kontsevich 模空间上的环面作用的几何与 Coxeter 类型 $A$ 和 $B$ 中的对称函数，以及具有 prescribed symmetry 的图着色计数联系起来。