四维 Ginzburg-Landau 方程的整体解与余维 2 极小子流形

我们考虑 $\mathbb{R}^4$ 中的磁 Ginzburg-Landau 方程 $$\begin{cases} -\varepsilon^2(\nabla-iA)^2u = \frac{1}{2}(1-|u|^{2})u,\\ \varepsilon^2 d^*dA = \langle(\nabla-iA)u,iu\rangle \end{cases}$$ 其形式对应于能量泛函 $$E(u,A)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^4}|(\nabla-iA)u|^{2}+\varepsilon^2|dA|^{2}+\frac{1}{4\varepsilon^2}(1-|u|^{2})^{2}.$$ 的欧拉-拉格朗日方程。这里 $u:\mathbb{R}^4\to \mathbb{C}$，$A: \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$，$d$ 表示作用于对偶于 $A$ 的一次微分形式的外导数。给定 $\mathbb{R}^3$ 中具有有限总曲率且非退化的二维极小曲面 $M$，我们构造了一个解 $(u_\varepsilon,A_\varepsilon)$，其零点集由接近于 $M\times \{0\}\subset \mathbb{R}^4$ 的光滑二维曲面组成。在该曲面之外我们有 $|u_\varepsilon| \to 1$ 且 $$u_\varepsilon(x)\, \to\, \frac {z}{|z|},\quad A_\varepsilon(x)\, \to\, \frac 1{|z|^2} ( -z_2 \nu(y) + z_1 {\textbf{e}}_4), \quad x = y + z_1 \nu(y) + z_2 {\textbf{e}}_4$$ 对所有足够小的 $z\ne 0$ 成立。这里 $y\in M$，$\nu(y)$ 是 $M$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中的单位法向量场。