低次 Fermat 曲面上的全纯整曲线

本文旨在研究 Hayman 和 Gundersen 提出的关于 Fermat 型泛函方程 $f^n+g^n+h^n=1$ 非平凡整函数解与亚纯解存在性的一些问题。Hayman 证明了当 $n \ge 9$ 和 $n \ge 7$ 时，分别不存在非平凡的亚纯解和整解。通过考虑复射影空间 $\mathbb{P}^3$ 上由 $X^n+Y^n+Z^n=W^n$ 定义的 Fermat 曲面上的全纯整曲线，并应用 jet 微分方法，我们证明了当 $n \ge 8$ 和 $n \ge 6$ 时，分别不存在非平凡的亚纯解和整解。特别地，这完成了对所有 $n$ 的非平凡整解以及除 $n=7$ 外所有情形亚纯解的研究。最后，对于广义 Fermat 型泛函方程 $f^n+g^m+h^l=1$，当 $1/n+1/m+1/l \le 3/8$ 时，我们也将证明非平凡亚纯解的不存在性，给出了迄今为止最强的结果。